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Jean Forget
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Statut du document

Ce texte est diffusé sous la licence Creative Commons CC-BY-ND : avec attribution et me demander avant de modifier le contenu.

Copyright (c) 2017, 2018, 2019 Jean Forget, tous droits réservés.

Je tiens à signaler que je ne suis pas un astronome professionnel. Il est possible que le texte ci-dessous contienne des erreurs. Soyez-en conscients. Je décline toute responsabilité pour les conséquences qui résulteraient de votre lecture du texte. La clause de non-responsabilité présente dans la GPL et dans la licence Artistic s'appliquent non seulement au code Perl, mais aussi aux textes français (et anglais).

Le texte est fréquemment (mais irrégulièrement) mis à jour sur Github. Il y a une version française et une version anglaise. Comme je suis plus à l'aise pour discuter d'astronomie en français, la version anglaise risque d'être légèrement à la traîne par rapport à la version française.

Ce texte fait partie intégrante de la distribution du module. Il est donc visible sur les sites web de CPAN (https://metacpan.org, par exemple). Mais il ne donne lieu à aucune installation. Du coup, je pense qu'il est absent des paquets .deb et .rpm qui pourraient être construits pour ce module.

Pourquoi ce texte, et pour qui

Le but principal de ce texte est de donner des explications sur le calcul des levers et des couchers du Soleil, explications trop longues et trop techniques pour avoir leur place dans la documentation POD du module.

Pour qui ? pour mon nounours

Avez-vous lu Le guide de brian pour résoudre tout problème Perl ? Même si l'écrasante majorité des conseils concerne le débugage d'un programme Perl erroné, quelques conseils s'appliquent à n'importe quel problème intellectuel. L'un de ces conseils généralistes consiste à parler à votre nounours. Ne vous contentez pas de faire semblant et d'imaginer que vous parlez à votre nounours, il faut réellement parler à haute voix avec des phrases cohérentes et bien formées. Cela dit, dans mon cas, le sujet est trop vaste pour être abordé en une discussion d'un quart d'heure avec mon nounours. J'ai préféré passer au stade supérieur et je préfère écrire à mon nounours via GitHub.

Ainsi donc, j'écris ce texte pour raconter à mon nounours les problèmes que j'ai rencontrés lors de la maintenance du module et les choix que j'ai faits alors. Mais surtout, c'est pour lui expliquer le fonctionnement de l'algorithme itératif, décrit succintement par Paul Schlyter dans son site web et qu'il n'a pas mis à disposition du public sous une forme compilable et exécutable (contrairement à la version simple sans itération).

Pour qui ? pour le prochain mainteneur du module

Le deuxième destinataire de ce texte, c'est le futur mainteneur du module. J'ai lu le message de Neil Bowers The module authors pledge. Je suis d'accord avec le principe et je déclare ici que si pour une raison ou pour une autre je cesse de m'occuper de mes modules, alors j'accepte que la maintenance de mes modules soit confiée à une autre personne.

Ce que Neil n'a pas rappelé, c'est que le repreneur doit réunir trois conditions, la compétence en programmation, les ressources notamment en termes de temps disponible et la volonté ou l'enthousiasme nécessaire pour s'atteler à la tâche.

Toutefois, dans le cas des modules de calculs astronomiques, il ne s'agit pas simplement de la compétence (en programmation) mais des compétences, en programmation et en astronomie. Il faut que ce futur mainteneur comprenne la problématique de ces calculs. Lisez le texte et si vous comprenez pourquoi tel ou tel point me tracasse, alors vous avez la compétence astronomique nécessaire pour maintenir le module. Et si vous pensez que j'enfonce des portes ouvertes, ou si vous pouvez fournir instantanément une réponse argumentée à mes questions, c'est encore mieux. Mais si vous n'arrivez pas à suivre mes explications et si, de toutes manières, les sinus et les cosinus vous rebutent, ce n'est pas la peine d'essayer de regarder le contenu du module.

Pour qui ? pour ceux qui ont trouvé (ou croient avoir trouvé) un bug

Ce texte est également destiné aux utilisateurs qui pensent avoir trouvé un bug dans le module ou qui veulent proposer une bonne idée. Peut-être que le bug a déjà été constaté et qu'il est en attente de solution. Peut-être que le bug a déjà été constaté et que la solution adoptée ne convient pas. Peut-être que l'amélioration suggérée a déjà été rejetée parce qu'elle est en contradiction avec le cœur du module.

Pour qui ? pour les utilisateurs intéressés

Finalement, ce texte est destiné à toute personne intéressée par l'astronomie. J'ai essayé de ne pas faire appel à des calculs trop compliqués. Leur place est dans le source Perl, pas ici. Mais ne soyez pas étonnés si vous tombez sur des calculs simples ou des raisonnements mathématiques basiques.

Remarques sur le style

Certains passages de ce texte prennent la forme d'une série de questions-réponses. Il ne s'agit pas d'une FAQ. C'est plutôt une façon un peu plus pédagogique de présenter progressivement un sujet. Ce procédé a été utilisé, entre autres, par Platon, Galilée et Douglas Hofstadter.

Autres remarques

J'examine généralement les phénomènes du point de vue d'une personne se trouvant dans l'hémisphère nord, entre le tropique du Cancer et le cercle polaire arctique. Par exemple, j'écrirai qu'au moment de midi, le Soleil se trouve plein sud, alors que tous les écoliers australiens, néo-zélandais, sud-africains, argentins et de quelques autres pays savent qu'à midi le Soleil est au nord.

De même, le 21 mars est habituellement appelé « équinoxe de printemps » alors que c'est l'automne qui commence dans l'hémisphère sud à cette date.

Mais vouloir faire du politiquement correct conduit à des tournures de phrase alambiquées, ce qui nuit à la compréhension des phénomènes présentés.

À propos des minutes et des secondes : il y a un problème dans la mesure où les minutes et les secondes sont à la fois des unités d'angle (longitudes et latitudes) et des unités de temps (durée et repérage d'un instant). J'ai adopté trois formats différents pour favoriser la distinction entre ces cas : « 12:28:35 » pour le repérage d'un instant, « 2 h 28 mn 35 s » pour les durées et « 59° 28' 35" » pour les angles (latitudes, longitudes et autres). Donc, même s'il n'y a pas d'indication de degré ou d'heure, vous pourrez faire la distinction entre un angle « 28' 35" » et une durée « 28 mn 35 s ».

Sources

Je ne donnerai ici que les sources fournissant ou générant des jeux étendus de valeurs numériques. Les livres et articles purement descriptifs que j'ai pu lire ces décennies passées sont trop nombreux pour être énumérés.

Sources que je n'ai pas utilisées

Je commence par les sources que je n'ai pas utilisées, car elle ne me permettent pas de maîtriser les données générées, à cause du manque de description de l'algorithme ou de l'impossibilité de choisir les paramètres de génération.

L'almanach du facteur

Les almanachs du facteur fournissent les heures de lever et de coucher du Soleil pour une année entière. Mais ces heures sont données à la minute près, pas à la seconde près. Et même si c'est une édition provinciale, le lever et le coucher du Soleil est toujours donné pour Paris. Finalement, le mode de calcul exact n'est pas donné.

L'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Éphémérides IMCCE

Ce site fournissait un formulaire HTML pour obtenir le tableau des levers et couchers du Soleil pour le lieu de votre choix et pour la période de votre choix. Hélas, cette page a disparu de leur site.

Il existe en revanche un générateur sous forme de service web, mais je ne l'ai pas essayé.

Sources utilisées

Le site web de Paul Schlyter

Ce site fournit un programme C prêt à l'emploi donnant les heures de lever et de coucher du Soleil. Comme le fait remarquer Paul Schlyter, c'est la version simple de l'algorithme, qui peut présenter des erreurs d'une ou deux minutes en général, ou plus si en fonction du lieu et de la date, on est proche du début ou de la fin de la période où le Soleil est visible à minuit.

Le site web de Paul Schlyter propose de nombreuses informations concernant le calcul des positions des corps célestes. Ce site est très intéressant, mais j'ai préféré reprendre à ma sauce (et en français) la description du calcul de la position du Soleil, en laissant tomber les autres corps célestes.

L'observatoire de l'US Navy

L'observatoire de l'US Navy propose un formulaire pour calculer l'heure du lever et l'heure du coucher du Soleil. L'heure est donnée à la minute près, alors que j'aurais préféré une précision à la seconde près, tant pis.

Notons toutefois que ce site fournit des informations très intéressantes (en anglais) sur le calcul de la position des corps célestes, mais sans se focaliser sur la position du Soleil comme je le fais ici.

Stellarium

Stellarium est un planétarium pour PC. Si l'on ne se préoccupe pas de la visualisation en temps réel du ciel, le logiciel permet de choisir un lieu d'observation, une date à la seconde près et un objet céleste. Il donne alors les coordonnées de cet objet céleste dans divers systèmes de coordonnées : azimuthales, équatoriales et écliptiques. Voici comment procéder pour obtenir le lever du Soleil, son coucher ou le midi vrai (version 0.18.0).

  • Déterminer une valeur approximative de l'heure recherchée : 12:00 pour le midi vrai, ou bien utiliser Astro::Sunrise en mode simple pour le lever ou le coucher.

  • Déterminer le critère de recherche : azimuth à 180 degrés pour le midi vrai, ou bien hauteur réelle à 0 degré et xx minutes sous l'horizon. xx est choisi pour être compatible avec le paramètre alt (hauteur) des fonctions de Astro::Sunrise.

    Note : on ne tient pas compte de la hauteur apparente fournie par Stellarium. Pour la déviation des rayons lumineux au voisinage de l'horizon, on adopte le point de vue de Astro::Sunrise, utiliser une valeur conventionnelle de 35' ou 0,583 degré et on tente d'obtenir cette valeur dans Stellarium. Et si on veut en plus tenir compte du rayon du disque solaire, on prendra la valeur moyenne 15' au lieu de la recalculer en fonction de la distance Terre-Soleil. Il faudra alors viser la hauteur de 50' sous l'horizon, soit 0,833 degré.

  • Dans Stellarium, figer le temps par 7 si ce n'est pas encore fait.

  • Rechercher le Soleil, la fenêtre de recherche s'activant par <F3>.

  • Vous pouvez préférer l'affichage sans le sol ni l'atmosphère. Il faut utiliser les bascules g et a. Et e ou z pour avoir la grille des coordonnées équatoriales ou azimuthales, selon vos préférences du moment.

    Vous remarquerez que lorsque l'atmosphère est désactivée, on ne voit plus l'affichage des coordonnées apparentes du Soleil. Cela justifie le choix de se baser sur les coordonnées réelles.

  • Presser <F6> pour spécifier le lieu d'observation. Prendre un lieu situé sur le méridien de Greenwich, ainsi le temps UTC coïncidera avec le temps solaire moyen. Il faut bien penser à cocher la case « utiliser un fuseau horaire personnalisé » et choisir le fuseau UTC.

    Dans la version 0.18.0, il est possible d'utiliser « Royal Observatory (Greenwich) ». Dans la version précédente, j'ai dû créer un lieu d'observation à 51° 28' 40" de latitude nord, 5" de longitude est et 27 m de hauteur. La longitude et la latitude correspondent aux coordonnées de l'observatoire de Greenwich données sur Wikipedia, la hauteur est le reliquat du lieu précédemment utilisé. Elle ne correspond pas à l'altitude de l'observatoire, ou alors c'est une heureuse coïncidence.

  • Presser <F5> pour spécifier la date et l'heure.

  • Sans fermer la fenêtre date-heure, essayer plusieurs valeurs jusqu'à trouver celle qui produit la meilleure approximation de l'azimuth ou de la hauteur recherché.

Dans la version que j'utilisais avant la version actuelle 0.18.0, le choix de l'heure UTC n'était pas une propriété du lieu d'observation, mais un paramètre global de l'application. Il fallait taper <F2> pour avoir le menu de configuration. Dans ce menu, il fallait choisir l'onglet Plugins, puis Fuseau horaire. Il était alors possible de demander l'affichage de l'heure UTC au lieu du fuseau horaire de celui du PC. Ne pas oublier de sauvegarder la configuration en sortant.

Héliocentrisme ou géocentrisme ?

Voici deux propositions. Sont-elles vraies ou fausses ?

A

Le Soleil tourne autour de la Terre.

B

La Terre tourne autour du Soleil.

La phrase A est fausse, tout le monde en convient, mais la phrase B est fausse également.

Ah oui, me direz-vous, en fait c'est :

C

La Terre décrit une orbite elliptique avec le Soleil situé sur l'un des foyers de cette ellipse.

Cette affirmation est fausse également. Chacune des affirmations suivantes est plus proche de la réalité que les phrases B et C (et A).

D

Le centre d'inertie du système binaire Terre-Lune décrit une orbite elliptique avec le centre d'inertie du système solaire, situé sur l'un des foyers de cette ellipse.

En faisant remarquer que le centre de gravité du Soleil et celui du système solaire sont deux points différents. Il y a même des périodes où le centre d'inertie du système solaire se trouve à l'extérieur du Soleil. La page web d'un programme pour HP-41 indique que le 15 mars 1983, la distance entre le centre de gravité du Soleil et le centre de gravité du système solaire était quasiment 2,1 rayons solaires.

E

La Terre orbite autour du Soleil avec des perturbations notables dues à la Lune, à Jupiter, à Saturne, etc.

Ce qui est une formulation différente du point précédent.

F

Le mouvement de la Terre au sein du système solaire est un problème à n corps, avec n ≥ 3. Donc il n'admet pas de solution analytique.

G

Le système solaire est un système chaotique. Même si l'on peut prédire avec un degré raisonnable de certitude à quoi ressembleront les orbites dans une centaine de millions d'années, ce genre de prédiction est illusoire pour un intervalle d'un milliard d'années.

H

La Terre se déplace en colimaçon dans la direction générale de la constellation Hercule à la vitesse approximative de 220 km/s.

I

La Terre orbite autour du centre de la Voie Lactée avec des perturbations notables dues au Soleil, à la Lune, à Jupiter, à Saturne, etc.

La proposition B ou C est ce que Terry Pratchett, Jack Cohen et Ian Stewart appellent des « mensonges pour les enfants » (la Science du Disque-Monde, chapitre 4, pages 38 et 39 dans la version originale). Ce sont des énoncés faux, mais suffisamment simples pour être compris par des enfants et qui, malgré leur inexactitude, font progresser lesdits enfants vers la vérité. Il est illusoire de faire comprendre à un enfant l'énoncé C s'il n'a pas déjà appris, compris et admis l'énoncé B. Et c'est la même chose, en pire, avec les énoncés D et suivants.

Qui plus est, ce sont ce que j'appelerai des « mensonges pour les adultes ». Au début, on considérait que la physique était une représentation mathématique du monde réel, se rapprochant de plus en plus de la vérité ultime. Puis il y a eu la physique quantique, avec notamment le principe de dualité onde / corpuscule de de Broglie et son interprétation par l'école de Copenhague. La nature ultime de l'électron (par exemple) est-elle corpusculaire ? Est-elle ondulatoire ? La réponse est « Ni l'une ni l'autre et de toutes façons, on s'en fiche. » La vocation de la physique n'est plus de fournir une représentation mathématique de la réalité ultime, mais de fournir des modélisations mathématiques de la réalité ultime. On sait que les modèles proposés sont faux, mais ils permettent de faire des calculs.

Remarquez que je parle ici de méthode scientifique. Mon propos n'était pas de caractériser la publicité ou les campagnes électorales. Cela ne fait de doute pour personne ou presque que ce sont des tissus de mensonges.

Autres mensonges pour les adultes, également appelés « hypothèses simplificatrices », utilisés dans ce texte :

  • la lumière se propage instantanément d'un point à l'autre de l'espace,

  • les astres extérieurs au système solaire sont immobiles,

  • ils sont situés sur une sphère appelée « sphère céleste »,

  • le temps UTC et le temps GMT sont identiques

  • la Terre est parfaitement sphérique, sans la moindre montagne, la moindre vallée et la moindre taupinière,

  • il y a même un endroit où je laisse entendre que la durée d'une année astronomique est un nombre entier de jours (365, bien sûr),

  • et, ainsi que je l'ai déjà signalé, tous les endroits dignes d'intérêt sur la Terre se situent entre le tropique du Cancer et le cercle polaire arctique.

Remarquez que, de temps en temps, dans certains paragraphes, je laisserai tomber certains de ces mensonges. Toutefois, le plus souvent, la plupart de ces mensonges sont en vigueur.

Conclusion

Tout ça pour dire que dans la suite, j'utiliserai aussi bien le modèle géocentrique où le Soleil tourne autour de la Terre en 24 heures que le modèle géocentrique où le Soleil tourne autour de la Terre en 365,25 jours ou le modèle héliocentrique.

« Il n'est pas nécessaire que ces hypothèses soient vraies, ou même vraisemblables. Une chose suffit : qu'elles offrent des calculs conformes à l'observation. »

Extrait de la préface d'Osiander au livre de Copernic, extrait repris par Jean-Pierre Petit comme avant-propos à son livre « Cosmic Story ». À l'époque de Copernic, le but d'Osiander était de faire admettre l'héliocentrisme à des lecteurs partisans inconditionnels du géocentrisme. Ironiquement, je reprends cette citation pour faire admettre le géocentrisme à des lecteurs partisans inconditionnels de l'héliocentrisme.

Les mouvements du Soleil ou de la Terre

Les mouvements de base

Dans un repère héliocentrique axé sur les étoiles fixes, la Terre tourne autour du Soleil en un an. Ou, ce qui revient au même, dans un repère géocentrique, le Soleil tourne autour de la Terre en un an avec une vitesse angulaire moyenne de 0,9856 degré par jour.

D'autre part, la Terre tourne sur elle-même en 23h 56mn 4s, avec une vitesse de rotation de 4,178e-3 degré par seconde, soit 360,9856 degrés par jour.

Q: Je croyais que la Terre tournait sur elle-même en 24h !

R: Pendant que la Terre tourne sur elle-même, le Soleil tourne autour de la Terre. Et ce que nous voyons, c'est la composition de ces deux mouvements, qui donne une vitesse angulaire moyenne de 360 degrés par jour. Ce qui intéresse le commun des mortels, c'est de retrouver le Soleil à place fixe de jour en jour. Et seulement ensuite, le commun des mortels prend du recul, étudie son environnement, découvre l'astronomie et s'intéresse à la position de la Lune, des étoiles et des planètes.

Q: Et pourquoi as-tu prononcé à deux ou trois reprises l'expression « vitesse angulaire moyenne » ?

R: Parce que la vitesse angulaire du Soleil n'est pas constante. Nous y reviendrons ultérieurement.

Les systèmes de coordonnées

L'écliptique est le plan qui contient l'orbite de la Terre autour du Soleil (avec un modèle héliocentrique) ou l'orbite du Soleil autour de la Terre (avec un modèle géocentrique). On définit également le plan équatorial, le plan qui contient le cercle de l'équateur terrestre. Ces deux plans ont un angle de 23° 26' et leur intersection s'appelle la ligne des nœuds. Dans certains cas il est plus intéressant de considérer que la ligne des nœuds est une demi-droite plutôt qu'une droite complète. On considère alors que la ligne des nœuds est la demi-droite avec le centre de la Terre pour origine et se dirigeant vers la constellation des poissons. Et le point où cette demi-droite rencontre la sphère céleste s'appelle point gamma (politiquement correct) ou point vernal (politiquement incorrect puisque cela correspond au début de l'automne dans l'hémisphère sud).

Pour définir les coordonnées d'un point terrestre, on a l'habitude de partir d'un point origine dans le Golfe de Guinée, là où l'équateur croise le méridien de Greenwich. Puis on parcourt un premier arc de cercle le long de l'équateur et un second le long d'un méridien (donc, à son origine, perpendiculaire à l'équateur). Les deux angles obtenus sont appelés « longitude » et « latitude ». Pour un astre, lorsque l'on utilise les coordonnées équatoriales, c'est le même principe, sauf que l'origine du premier arc se trouve sur la ligne des nœuds et que les angles s'appellent « ascension droite » et « déclinaison ». À cause d'une tradition, d'une charte ancienne ou de quelque chose comme ça, l'ascension droite est exprimée en heures, minutes et secondes et non pas en degrés. J'essaierai de donner les valeurs dans les deux systèmes d'unités chaque fois que j'en aurai besoin.

Les coordonnées écliptiques suivent le même principe, en traçant le premier arc le long de l'écliptique au lieu de l'équateur. Et de même, le second arc de cercle est, au point de départ, perpendiculaire à l'écliptique. Les deux angles s'appellent « longitude écliptique » et « latitude écliptique » respectivement. La position origine de la longitude écliptique est la ligne des nœuds comme pour l'ascension droite, ce qui permet une simplification appréciable des formules de conversion d'un système à l'autre. D'un autre côté, l'utilisation d'heures minutes et secondes pour l'ascension droite et de degrés pour tous les autres angles introduit une complication superflue à la conversion.

Notons qu'en raison de la définition de l'écliptique, la latitude écliptique du Soleil est toujours égale à zéro.

Finalement, il y a le système de coordonnées locales. Pour un astre dans le ciel, on cherche la projection sur le sol ou plus exactement sur le plan tangent au sol. L'angle entre le nord et cette projection est appelé « azimut » (ou « azimuth ») et l'angle entre la projection et l'astre lui-même est appelé « hauteur ».

Les autres mouvements

Avant d'évoquer les autres mouvements faisant intervenir la Terre et le Soleil, permettez-moi une petite digression.

Météo et climat

J'ai horreur de ces gens qui, chaque fois qu'il neige, s'exclament « Et dire qu'on nous parle de réchauffement climatique ! » Le climat et la météo sont deux choses différentes. Quand la température relevée sous abri à 5 heures du matin varie de 10 degrés du jour au lendemain, c'est un événement météorologique ordinaire. Lorsque la température moyenne sur dix ans varie de deux degrés d'un siècle à l'autre, c'est une catastrophe climatique.

Les autres mouvements entre la Terre et le Soleil sont des mouvements plus « climatiques » que « météorologiques ». Leurs valeurs à court terme sont très faibles, ce qui fait que les algorithmes de calcul des positions orbitales à court terme n'en tiennent pas compte.

Remarque : la météo (mais pas le climat) reviendra dans quelques chapitres, mais ce ne sera plus une analogie.

Précession des équinoxes

Le plus connu des mouvements à longue échéance est la précession des équinoxes. En ce moment, le point gamma se trouve dans la constellation des poissons, mais en réalité, il se déplace le long de l'écliptique en 26 000 ans environ.

Mouvement de nutation

L'angle entre le plan équatorial et le plan de l'écliptique varie très légèrement. Dans le programme C de Paul Schlyter, l'angle diminue de 356 nanodegrés par jour (3,56e-7 °/j, 1,3e-4 °/année).

Avance du périhélie

Il y a également l'avance du périhélie. On connaît l'avance du périhélie de Mercure parce que c'est le mouvement le plus prononcé, mais toutes les planètes du système solaire subissent une avance de leur périhélie, y compris la Terre.

Autres dérives et fluctuations

Les formules donnant les positions des astres reposent sur des constantes. Mais ces valeurs sont constantes sur une échelle de temps brève (à l'échelle astronomique, ou pour reprendre la métaphore ci-dessus, à l'échelle climatique). Par exemple, il est acquis que le jour dure 24 h (le jour solaire moyen, pas le jour sidéral). J'ai lu quelque part qu'aux temps paléontologiques, le jour durait 22 heures environ.

La variation est lente, mais avec nos moyens modernes, il est possible de la mesurer. Depuis que les scientifiques ont adopté un étalon atomique pour le temps, abandonnant l'étalon astronomique, il a été nécessaire d'ajouter 27 secondes intercalaires en 47 ans pour resynchroniser l'échelle de temps atomique avec l'échelle de temps astronomique.

Pour l'instant, les interventions pour cette resynchronisation ont toujours consisté à ajouter une seconde intercalaire. Mais la possibilité théorique existe de synchroniser dans l'autre sens, en supprimant une seconde. Le phénomène peut donc, semble-t-il, se manifester par des fluctuations au lieu d'une dérive toujours dans le même sens.

Équation du temps

Il existe d'autres fluctuations, qui sont plus faciles à mesurer et qui se déroulent sur une échelle plus « météorologique » et moins « climatique ». Le midi solaire vrai ne correspond pas avec le midi solaire moyen. Il y a deux raisons pour cela.

Obliquité de la Terre

Tout d'abord, comme il existe un écart angulaire entre le plan de l'équateur et le plan de l'écliptique, une rotation uniforme sur le plan de l'écliptique se traduira sur le plan de l'équateur par une rotation à vitesse variable.

Si nous exprimons l'ascension droite et la longitude écliptique dans les mêmes unités (degrés ou heures), alors leurs valeurs sont voisines, mais pas égales. Ainsi, lorsque la longitude écliptique est de 46°20'31", l'ascension droite est de 43°52'36", soit un écart de 2°27'54". Le même écart existe pour la longitude écliptique de 226°20'31". Et pour une longitude écliptique de 313°32'52", l'ascension droite est de 316°47", soit le même écart en sens inverse, écart que l'on retrouve également pour la longitude écliptique de 133°32'52". Ce sont les valeurs extrêmes des écarts pour l'obliquité de 23° 26'. Et si vous préférez les heures, minutes, secondes, voici un tableau donnant les valeurs dans les deux systèmes :

  .   longitude  ascension droite    écart      longitude  ascension droite   écart
  .   3h05mn22s      2h55mn30s     -9mn51s      46°20'31"     43°52'36"     -2°27'54"
  .   8h54mn11s      9h04mn03s      9mn51s     133°32'52"    136°00'47"      2°27'54"
  .  15h05mn22s     14h55mn30s     -9mn51s     226°20'31"    223°52'36"     -2°27'54"
  .  20h54mn11s     21h04mn03s      9mn51s     313°32'52"    316°00'47"      2°27'54"

Deuxième Loi de Kepler

Ensuite, la rotation du Soleil sur le plan de l'écliptique n'est pas constante. Elle suit la deuxième loi de Kepler, avec une vitesse angulaire inversement proportionnelle à la distance Terre-Soleil.

Q : Tu ne peux pas appliquer valablement la deuxième loi de Kepler à un modèle géocentrique !

R : Non. La deuxième loi de Kepler s'applique à un modèle barycentrique comme D ci-dessus, ou à la rigueur un modèle héliocentrique comme C. Mais une fois que l'on a pu déterminer la vitesse angulaire de la Terre dans le modèle C, il est très simple de faire le changement de coordonnées vers un modèle géocentrique. La valeur obtenue pour la vitesse angulaire du Soleil autour de la Terre dans un modèle géocentrique est égale à celle de la vitesse angulaire de la Terre autour du Soleil dans un modèle héliocentrique.

Voici les positions du Soleil données par Stellarium en 2017 en coordonnées équatoriales puis converties en coordonnées écliptiques.

  date       ascension droite        déclinaison  longitude écliptique
  4 janvier  18h59mn1s 284°45'15"    -22°44'43"   -76°24'58" ou -76,4162°
  5 janvier  19h3mn24s 285°51'       -22°38'18"   -75°23'58" ou -75,3996°
  3 juillet   6h48mn   102°           22°58'35"   101°2'7"   ou 101,0355°
  4 juillet   6h52mn8s 103°02'        22°53'39"   101°59'26" ou 101,9907°

Soit une vitesse angulaire de 1,0166 degré par jour en longitude écliptique au périgée (dans un modèle géocentrique, c'est-à-dire périhélie dans un modèle héliocentrique) et de 0,9552 degré par jour à l'apogée (ou aphélie).

Équation du temps

La vitesse de rotation de la Terre sur elle-même est constante, 360,9856 degrés par jour mais la vitesse de rotation du Soleil autour de la Terre ne l'est pas. La combinaison des deux vitesses est donc variable et elle n'est pas 360 degrés par jour. Le passage du Soleil au méridien ne se produit donc pas exactement toutes les 86 400 secondes. Il y a donc une différence entre le temps solaire moyen, dans lequel midi se produit exactement toutes les 86 400 secondes et le temps solaire vrai dans lequel midi, le moment où le Soleil passe au méridien, fluctue légèrement. La différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai s'appelle l'équation du temps.

Voici quelques valeurs extrêmes pour l'équation du temps en 2017, obtenues par un script basé sur DateTime::Event::Sunrise et contrôlé avec Stellarium.

  Date          DT::E::S    Stellarium
  2017-11-02    11:43:33    11:43:37   -16mn23s  la valeur la plus tôt
  2017-02-10    12:14:12    12:14:14   +14mn14s  la valeur la plus tardive
  2017-09-11    11:56:33    11:56:34    -3mn26s 
  2017-09-12    11:56:11    11:56:13    -3mn47s  la plus forte décroissance : 21 ou 22 secondes
  2017-12-17    11:56:11    11:56:14    -3mn46s 
  2017-12-18    11:56:41    11:56:44    -3mn16s  la plus forte croissance : 30 secondes

Et voici la courbe correspondante de l'équation du temps.

Courbe de l'équation du temps pendant un an

Analemme

L'irrégularité de la course du Soleil se matérialise également en se basant sur le temps solaire moyen et en notant la position du Soleil dans le ciel lorsqu'il est midi au temps solaire moyen. Les positions obtenues forment une courbe en 8 appelé analemme avec l'ascension droite en abscisse et la hauteur en ordonnée.

Soleil moyen, soleil virtuel homocinétique

Dans la suite de la discussion, il est utile d'imaginer un soleil dont la vitesse angulaire serait constante (soit en coordonnées équatoriales, soit en coordonnées écliptiques, selon le cas).

On parle ainsi du « Soleil moyen », qui est censé passer au méridien à 12:00 pile lorsque l'on utilise le « temps solaire moyen » et qui minimise l'écart tout au long de l'année entre le midi solaire moyen et le midi solaire vrai.

Je prendrai en considération également des soleils virtuels homocinétiques, ou SVH. Ces soleils virtuels sont synchronisés avec le Soleil réel à un instant donné et ensuite bougent avec une vitesse angulaire constante.

Calcul du lever et du coucher du Soleil

Le calcul du lever et du coucher du Soleil consiste à tenir compte à la fois de la variation de la longueur de la journée et de l'équation du temps pour savoir quand le Soleil atteint la hauteur qui correspond au lever ou au coucher du Soleil.

Dans le schéma ci-dessous, la variation de la longueur de la journée se traduit par un déplacement haut-bas de la sinusoïde (et, dans une moindre mesure une contraction-extension haut-bas de la courbe). L'équation du temps se traduit par un déplacement horizontal de la sinusoïde.

Evolution de la course du Soleil pendant un an

Q : Ouaaaaah ! Impressionnant, ton schéma !

R : Ne sois pas si impressionné. Il y a quelques écarts avec la réalité. Tout d'abord, j'ai représenté la course du Soleil par une sinusoïde parce que c'était facile à programmer, mais je n'ai pas vérifié si ça collait à la vérité et je parierais que la correspondance est approximative. Ensuite, l'équation du temps est très largement exagérée. Au lieu d'un midi solaire vrai qui varie entre 11:43 et 12:15 du temps moyen, ici la variation est 4 fois plus importante, faisant varier le midi solaire entre 11:00 (et même moins) et 13:00. Mais on n'aurait rien vu sans cet élargissement.

Q : Et cette courbe en forme de huit, c'est l'analemme ?

R : Non. L'analemme montre la position en azimuth et hauteur du Soleil au moment du midi solaire de temps moyen. La courbe ci-dessus donne en abscisse l'heure en temps moyen du midi solaire vrai et en ordonnée la hauteur du Soleil à ce instant. En d'autres termes, l'analemme se base sur un événement temporel régulier, le midi solaire moyen, et montre la corrélation de deux phénomènes spatiaux variables, l'azimuth et la hauteur. À l'inverse, la courbe ci-dessus se base sur un événement spatial précis, l'azimuth 180°, et montre la corrélation entre un phénomène spatial variable, la hauteur du Soleil, et un phénomène temporel variable, le midi solaire vrai.

Certes, les notions associées aux ordonnées sont voisines, comme une comparaison entre des carottes nantaises et des carottes de Chantenay, mais comparer les abscisses entre les deux courbes, c'est vouloir comparer des choux avec des carottes.

Q : Et la similitude de forme est une coïncidence ?

R : Non, ce n'est pas une coïncidence. Prenons pour commencer les ordonnées. La courbe ci-dessus, que j'appelerai « pseudo-analemme », donne la hauteur au midi solaire vrai, donc la hauteur maximale du Soleil pour la journée. L'analemme donne la hauteur du Soleil au midi moyen, donc forcément inférieure à la hauteur maximale (sauf à l'occasion des quatre jours où l'analemme croise l'axe des Y). Mais comme on est au voisinage d'un point à tangente horizontale, la variation est très faible. Par exemple, le 2 novembre 2017, pour un observateur à l'observatoire de Greenwich, le Soleil est à une hauteur de 23°37'39" au moment du midi solaire vrai (11h 43mn 37s) et à une hauteur de 23°31'40" au moment du midi solaire moyen, un quart d'heure plus tard (données obtenues dans Stellarium).

Pour les abscisses, c'est un peu plus compliqué. En reprenant l'exemple du 2 novembre 2017, au moment du midi solaire moyen, l'azimuth du Soleil est 184°19'08". Donc, sur l'analemme, le point du 2 novembre est 4 degrés à droite de l'axe Y, tandis que sur la pseudo-analemme ci-dessous, il est 16 mn 23s à gauche de l'axe Y. Il y a donc non seulement un changement d'unités, mais aussi un changement de signe. La pseudo-analemme et l'analemme sont donc, à peu près, symétriques l'une de l'autre.

Cf. à la fin pour une discussion politiquement correcte de l'analemme et de la pseudo-analemme.

Principe du calcul itératif

Il y a deux attitudes vis-à-vis de la variation du midi solaire vrai d'un jour à l'autre. En prenant un observateur à Greenwich en septembre 2017, le midi solaire du 11 septembre se produit à 11:56:34 à une hauteur de 42°53'40" et celui du lendemain se produit à 11:56:13 à une hauteur de 42°30'47".

On peut considérer que la valeur 11:56:34 est valide le 11 de zéro heure à minuit et qu'elle saute instantanément à 11:56:13 le 12 septembre à zéro heure. Cela revient à dire que la pseudo-analemme est un nuage de 365 points distincts.

Ou alors, on peut considérer que le midi solaire vrai évolue continûment d'un jour à l'autre et que la pseudo-analemme est une courbe constituée d'une infinité de points. Le calcul du coucher du Soleil en se basant sur le midi solaire vrai de 11:56:34 donne une heure 18:23:59. Puisque le midi solaire vrai a varié de 21 secondes en 86 379 secondes (soit 1 jour moyen moins 21 secondes), par interpolation linéaire, à 18:23:59, soit 23 225 secondes plus tard le midi solaire moyen aura varié de 5,6 secondes. De même, la hauteur, qui varie de 22'53" en 86 379 secondes aura varié de 6'9" en 23 225 secondes. On obtient un midi solaire vrai virtuel de 11:56:28 et une hauteur de 42°47'31".

On déplace donc la courbe de la course du Soleil pour culminer sur ce point précis et on recalcule l'intersection avec la ligne horizontale représentant le coucher du Soleil. On obtiendra un point différent de 18:23:59, mais très proche de 18:23:59 et encore plus proche de la valeur donnée par Stellarium : 18:23:24.

Mise en Œuvre de l'Algorithme Simple

Faisons d'abord une digression avec l'algorithme simple. Nous prendrons l'exemple du coucher du Soleil à Greenwich, le 4 janvier 2018.

Le présent paragraphe et le suivant se basent sur le code Perl suivant :

  for(0, 1) { 
    say join( " | ",$_, sunrise({ year =>  2018, month =>  1, day => 4,
                                  lon  =>    0,  lat   => +51.5, tz  =>  0, isdst => 0,
                                  alt  => -.833, upper_limb => 0, precise => $_, polar => 'retval',
                                  trace => *STDOUT } ));
  }

L'algorithme simple commence par déterminer le midi solaire vrai du jour. En reprenant l'exemple du paragraphe précédent, le 4 janvier à Greenwich, le midi solaire vrai se produit à 12:04:56.

Puis on applique simultanément la rotation de la Terre sur elle-même (360,9856 degrés par jour) et la rotation d'un SVH (rappel : soleil virtuel homocinétique) autour de la Terre (0,9856 degré par jour) ce qui fait une vitesse combinée de 360 degrés par jour, soit 15 degrés par heure. Et le coucher du Soleil se produit au moment où cette rotation combinée amène le SVH à l'altitude cible.

Ainsi, pour le 4 janvier, l'écart entre le point de midi et le point du coucher du Soleil est de 59,9746° (59° 58' 28"). Donc il faut 3,9983 heures (3 h 59 mn 53 s) pour parcourir cet angle et le coucher du SVH se produit à 16:04:50.

Mise en Œuvre de l'Algorithme Précis

Avec l'algorithme précis, on dissocie la rotation de le Terre sur elle-même (360,9856 degrés par jour) et la rotation du Soleil autour de la Terre. De plus, on utilise implicitement la valeur réelle de la rotation du Soleil, entre 0,9552 degré et 1,0166 degré par jour.

Première itération. On part du midi solaire vrai du jour à 12:04:56 et on applique uniquement la rotation de la Terre sur elle-même (15,04107 degrés par heure). La première valeur, très approximative, est le moment où la rotation de la Terre amène le Soleil à l'altitude recherchée. Avec l'exemple du 4 janvier, cette première approximation donne l'heure 16:04:11.

Pour la seconde itération, on détermine le midi solaire virtuel correspondant à la position du Soleil à cette heure approximative 16:04:11. Ce midi solaire virtuel se produit à 12:05:01. En partant de cette position, on applique la rotation de la Terre et on aboutit à la seconde évaluation du coucher du Soleil, 16:04:23 (16.0731615074431 en notation décimale).

Pour la troisième itération, on détermine le midi solaire virtuel correspondant à la position du Soleil à 16:04:23. Ce midi solaire virtuel se produit à 12:05:01. Là encore nous appliquons la rotation de la Terre, pour aboutir à une troisième évaluation du coucher du Soleil, 16:04:23, différant de la valeur de la seconde itération par une fraction de seconde : 16.0731642391519 au lieu de 16.0731615074431. La différence étant 2,73e-6 heure, soit 9 ms, on quitte la boucle de calcul.

C'est une première façon de voir le calcul : le Soleil anticipe sa position dans la soirée et reste immobile à cette position. Une autre façon de voir ce calcul est :

Lors de la seconde itération, entre le midi solaire réel 12:04:56 et la valeur donnée par la première itération 16:04:11, le Soleil tourne à la vitesse réelle de 1,0166 degré par jour en même temps que la Terre tourne sur elle-même à la vitesse de 360,9856 degrés par jour. Puis à 16:04:11, le Soleil s'immobilise et on ajuste en faisant tourner la Terre seulement. Cela donne une nouvelle valeur 16:04:23 pour le coucher du Soleil.

Lors de la troisième itération, entre le midi solaire réel 12:04:56 et la valeur donnée par la deuxième itération 16:04:23, le Soleil tourne à la vitesse réelle de 1,0166 degré par jour, puis à 16:04:23, il se fige et ensuite on ajuste en faisant tourner la Terre seule sur elle-même. Le coucher du Soleil se produit 9 millisecondes plus tard à 16:04:23. Il y a donc 3 h 59 mn 27 s où l'on utilise la vitesse réelle du Soleil et 9 millisecondes où l'on utilise une vitesse franchement erronée. On y gagne par rapport au calcul simple qui utilise une vitesse légèrement erronée pendant toute la période de 3 h, 59 mn et 57 s.

Examen détaillé des paramètres

Ci-dessous, je détaille diverses informations à savoir sur les paramètres de calcul, informations qui auraient été trop longues pour la documentation interne du module et qui auraient noyé dans un flot d'informations un lecteur non averti.

Choix de l'algorithme, paramètre precise

Q : Quand est-il préférable de choisir l'algorithme précis ?

R : La réponse courte, c'est « jamais ». La réponse développée est la suivante.

  • Si tu veux déterminer l'un des crépuscules, utilise l'algorithme de base.

  • Si tu vis entre les deux cercles polaires, utilise l'algorithme de base.

  • Si la date est éloignée d'une transition entre la période jour+nuit et la période de nuit polaire ou la période du Soleil de minuit, utilise l'algorihme de base.

  • Si la date est voisine d'une transition entre la période jour+nuit et la période de nuit polaire, utilise l'algorihme de base.

  • Si tu habites dans une zone polaire ET que la date est voisine d'une transition entre la période d'alternance jour/nuit et la période du Soleil de minuit ET si tu t'intéresses à la visibilité du disque solaire au-dessus de l'horizon, alors tu peux utiliser l'algorithme précis.

    À noter que quelqu'un situé légèrement au sud du cercle polaire arctique (par exemple, à Reykjavik) a intérêt à utiliser l'algorithme précis aux alentours du 21 juin. De même, l'algorithme précis est conseillé aux alentours du 21 décembre pour les endroits légèrement au nord du cercle polaire antarctique

Q : On peut savoir les raisons pour lesquelles l'algorithme précis sert si peu ?

R : Reprenons l'animation de la courbe de la course du Soleil qui se déplace par rapport à la pseudo-analemme. Mais au lieu de nous situer à Greenwich, nous nous placerons au-delà du cercle polaire. Nous ne quittons pas le méridien de Greenwich, mais nous prenons place à 76 degrés et 59 minutes de l'équateur.

Evolution de la course du Soleil pendant un an (variante arctique)

Comme tu peux le voir, aux alentours du 21 avril et du 21 août, la course du Soleil est tangente ou quasiment tangente à la ligne d'horizon. Dans ces conditions, une légère variation de 6' de la hauteur du Soleil entraîne une variation nettement plus importante des points d'intersection de la course du Soleil avec la ligne d'horizon. Ainsi, le 20 avril 2017, au moment du coucher du Soleil, il faut 8 mn 18 s pour que la hauteur diminue de 6'.

Q : D'où sors-tu cette valeur de 6' ?

R : C'est la valeur que j'ai calculée au chapitre "Principe du calcul itératif". C'est juste un exemple pour faire un calcul concret.

À l'inverse, si tu habites dans un lieu tempéré loin des cercles polaires, la pente de la course du Soleil au point d'intersection est toujours nettement oblique. Par exemple, à Greenwich, la pente la plus faible se produit à chaque solstice et vaut de l'ordre de 6 à 7 degrés de hauteur par heure. Donc une variation de hauteur de 6' produira au maximum une variation de l'heure de 50 secondes.

Le diagramme ci-dessous montre l'effet d'une translation verticale de 6' sur la course du Soleil dans les deux cas : 20 avril à 76° 59' et 21 décembre à Greenwich. Attention, le diagramme n'est pas à l'échelle.

Course du Soleil, comparaison entre Greenwich le 21/12 et la latitude 76 le 20/04

Q : Et pour ceux qui habitent dans une région polaire, que se passe-t-il aux dates éloignées des transitions ?

R : Si la période en cours est l'alternance jour/nuit, alors les mêmes considérations que ci-dessus au sujet de la pente « nettement oblique » de la courbe s'appliquent. Et dans le cas des deux autres périodes, nuit polaire et Soleil de minuit, il n'y a pas d'intersection entre la course du Soleil et l'horizon et aucune variation de hauteur, dans certaines limites, ne peut créer un tel point d'intersection.

Q : Dans le cas de la transition avec la période de nuit polaire, la course du Soleil est tangente à la ligne d'horizon, comme pour la transition avec la période du Soleil de minuit. Alors pourquoi, dans ce cas, conseilles-tu quand même l'algorithme de base ?

R : L'algorithme de base et l'algorithme précis essaient tous deux d'estimer la longitude écliptique et la hauteur du Soleil au midi solaire virtuel correspondant à l'heure du coucher du Soleil. Mais alors que l'algorithme précis utilise la vitesse réelle du Soleil, qui varie de 0,9552°/j à 1,0166°/j, l'algorithme de base utilise une vitesse moyenne de 0,9856°/j, ce qui fait une erreur de ±0,0310°/j. À l'occasion de la transition entre jour+nuit et le Soleil de minuit, ce taux d'erreur prend effet pendant 11 heures, voire plus, ce qui peut donner une erreur de 0,015° sur la longitude écliptique du Soleil. En revanche, pour la transition entre jour+nuit et la nuit polaire, ce taux d'erreur court sur une heure ou moins, ce qui fait que l'erreur sur la longitude écliptique ne peut pas dépasser 0,0013°. Donc, même si à ce moment, une faible erreur sur la longitude écliptique peut provoquer une grande différence sur l'heure du coucher du Soleil, tu n'auras pas une faible erreur, mais une erreur infime sur la longitude écliptique.

Q : Et le cas des crépuscules ? On peut avoir le cas où la course du Soleil est tangente à la ligne d'horizon, si je peux me permettre d'utiliser ce terme pour une ligne située 24 degrés sous le plan horizontal. Et nous avons un écart de ≈12 heures comme dans le cas de la transition avec le Soleil de minuit, pas un écart d'une heure ou moins comme dans le cas de la transition avec la nuit polaire.

R : Qu'est-ce qui t'intéresse lorsque tu calcules les heures de crépuscule ? C'est d'avoir une luminosité la plus faible possible et les meilleures conditions possibles pour l'observation des astres. Crois-tu qu'il y a une nette différence entre une nuit où le point le plus bas du Soleil est 23°57' sous l'horizon et une nuit où ce même point est à 24°3' ? Et il vaut mieux commencer à observer les astres lorsque le Soleil est à, disons, -15° si tu sais que la Lune va se lever lorsque l'on atteindra le crépuscule astronomique pour le Soleil ou si la météo annonce l'arrivée d'une épaisse couche de nuages à ce moment.

Année, paramètre year

Q : Pourquoi Astro::Sunrise a-t-il besoin de l'année pour calculer le lever et le coucher du soleil ? J'ai vu un algorihme qui ne demandait que le mois et le jour.

R : Prenons le calcul du coucher du Soleil à Greenwich fin février et début mars. Les heures respectives sont :

  .     26/02     27/02     28/02     29/02     01/03     02/03     03/03
  2015 17:46:17  17:35:43  17:37:29            17:39:15  17:41:01  17:42:47
  2016 17:47:36  17:35:17  17:37:03  17:38:49  17:40:35  17:42:21  17:44:06
  2017 17:47:11  17:36:37  17:38:24            17:40:10  17:41:55  17:43:41
  2018 17:46:45  17:36:12  17:37:58            17:39:44  17:41:30  17:43:15
  2019 17:46:20  17:35:46  17:37:32            17:39:18  17:41:04  17:42:49
  2020 17:47:39  17:35:20  17:37:06  17:38:52  17:40:38  17:42:24  17:44:09
  2021 17:47:13  17:36:40  17:38:26            17:40:12  17:41:58  17:43:44
  2022 17:46:48  17:36:14  17:38:01            17:39:47  17:41:32  17:43:18
  2023 17:46:23  17:35:48  17:37:35            17:39:21  17:41:07  17:42:52

Comme on peut le voir dans ce tableau, lorsque l'on progresse de 365 jours, le coucher du Soleil varie de 25 secondes vers le midi. Si l'on progresse de 366 jours, le coucher du Soleil progresse de 1 mn 20 s vers minuit. Et si l'on progresse d'une année civile, le coucher du Soleil progresse soit vers midi, soit vers minuit. Dans le cas, par exemple, du 28 février, quel résultat ton algorithme sans année doit-il donner ? 17:37:03 ? Ou 17:38:26 ?

Q : Cela veut dire que mon algorithme est pourri, comme tout algorithme qui ne tiendrait pas compte de l'année ?

R : Non. Si c'est pour déterminer l'instant précis où le Soleil quitte notre champ visuel, l'algorithme est pourri. Mais si c'est pour avoir une idée de la luminosité du ciel, c'est correct. Je connais une personne qui utilise un algorithme sans année uniquement pour savoir à quelle heure activer le système automatisé d'éclairage dans son salon. Dans ce cas, allumer à 17:37:03 ou à 17:38:26 n'a pas tellement d'importance. Sous nos latitudes, la variation de luminosité due à la variation de la position du Soleil en deux minutes est négligeable. En fait, la météo a plus d'importance. Selon que le ciel sera dégagé ou bien bouché par de gros nuages orageux, il faudra attendre l'heure dite ou allumer plus tôt.

Q : Tu sembles dire qu'un algorithme sans année aurait suffi pour calculer les heures de crépuscule ? Alors pourquoi utiliser un algorithme avec année ?

R : Tout d'abord parce que l'algorithme de base était déjà codé et qu'un algorithme légèrement moins bon aurait été superflu. Ensuite parce que je n'ai pas connaissance de la licence des autres algorithmes, tandis que celui de Paul Schlyter est explicitement dans le domaine public.

Q : Je remarque que tu n'a pas utilisé les termes « avancer », « reculer » et « retarder ».

R : Effectivement, j'ai un problème avec ce verbe. Lorsque l'on passe du 28/02/2015 au 28/02/2016, on avance de 365 jours. Mais lorsque le coucher du soleil passe de 17:35:43 à 17:37:29, il recule ou il retarde de 1 mn 46 s. Alors que la variation est dans le même sens.

Q : Une autre remarque, comment as-tu fait pour avoir l'heure du coucher du Soleil à la seconde près avec Astro::Sunrise ?

R : Parce que je n'ai pas utilisé Astro::Sunrise, mais DateTime::Event::Sunrise, qui fournit comme résultats des objets de classe DateTime pour lesquels le nombre de secondes est défini.

Q : Et ne pourrait-on pas adapter Astro::Sunrise pour fournir un résultat "hh:mm:ss" au lieu de simplement "hh:mm" ?

R : Si, on pourrait. Mais cela a-t-il un sens ? D'après Paul Schlyter, l'algorithme est précis à une ou deux minutes près, sauf dans les cas limites associés au début et à la fin de la période du Soleil de minuit. Donc cela ne vaut pas la peine de modifier Astro::Sunrise pour afficher les secondes.

Q : Et dans la discussion ci-dessus, pourquoi avoir tenu compte des secondes, si elles ne sont pas significatives ?

R : Parce que j'ai l'intuition que s'il y a une erreur, elle aura à peu de choses près la même valeur pour toutes les dates de fin février et de début mars de la décennie. On peut ainsi avoir une erreur de +45 s le 28/02/2015 et une erreur de -50 s en octobre 2015 et en février 2050, mais pour les dates voisines au sens JJ/MM et au sens AAAA, l'erreur sera quasiment celle du 28/02/2015. Peut-être +43 s ou +46 s, mais sûrement pas -50 s (valeurs complètement pifométriques, je n'ai pas vérifié avec Stellarium). Il est donc justifié de calculer des variations d'horaire à la seconde près.

À COMPLÉTER

Annexes

Analemme politiquement correcte

Tout d'abord, pour les observateurs situés au nord du cercle polaire arctique, il faut juste savoir qu'une partie de l'analemme et de la pseudo-analemme se trouve au-dessous de l'horizon. Cette partie, plus ou moins importante selon la latitude de l'observateur, correspond à la période de l'année de la nuit polaire. Vous trouverez un exemple de pseudo-analemme arctique dans le paragraphe sur le paramètre precise.

Pour les observateurs de l'hémisphère austral entre le tropique du capricorne et le cercle polaire antarctique, la situation est plus curieuse. Le midi solaire vrai correspond à l'ascension droite 0°, lorsque le Soleil passe au nord. De plus, comme l'observateur doit faire face au nord et non pas au sud, le Soleil progresse dans le sens est → nord → ouest, c'est-à-dire dans le sens des azimuths décroissants. Donc, lorsque le midi solaire vrai est en avance sur le midi solaire moyen, le point de l'analemme sera à gauche de l'axe des Y, tandis que pendant les périodes où le midi solaire vrai est en retard sur le midi solaire moyen, le point de l'analemme sera à droite de l'axe des Y.

Pour la pseudo-analemme, en revanche, il n'y a aucune raison de changer la représentation du sens de variation des abscisses, de gauche à droite. En conséquence, l'analemme et la pseudo-analemme seront à peu près superposables, sans qu'il y ait besoin de faire de symétrie.

Pour les observateurs au sud du cercle polaire antarctique, même chose, sachant que comme pour ceux du grand nord, l'analemme et la pseudo-analemme se trouvent en partie en-dessous de l'horizon.

Et les observateurs entre les deux tropiques ? Un observateur faisant face au sud ne pourra pas voir l'analemme dans sa totalité, il lui manquera la portion aux alentours du 21 juin, qui se trouvera alors dans son dos. Et s'il fait face au nord, c'est la portion aux environs du 21 décembre qui sera dans son dos. Que faire alors ? Il suffit de s'allonger au sol pour voir l'analemme dans sa totalité. Si l'observateur s'allonge avec la tête au nord et les pieds au sud, la situation sera semblable à celle d'un observateur au nord du tropique du cancer et faisant face au sud. S'il s'allonge avec la tête au sud et les pieds au nord, ses observations rejoindront celles d'un observateur situé au sud du tropique du capricorne.

À COMPLÉTER